Lord Rayleigh y James Jeans

Desde la antigüedad se había podido observar en la vida cotidiana que los cuerpos calientes emitían luz de diferentes colores en función de su temperatura. Sin ir más lejos, los alfareros contaban con una guía que determinaba las diferentes tonalidades que se obtenían conforme calentaban los materiales. Pero fue a finales del siglo XIX, que el auge de la astrofísica junto al incipiente alumbrado público hizo que el interés por encontrar la base científica de esta relación se incrementase.

El físico prusiano Gustav Kirchhoff fue quien, en 1859, dio el pistoletazo teórico de salida introduciendo el concepto de “cuerpo negro”, un cuerpo que era un perfecto absorbente y emisor de radiación. Hay que decir que, si bien esta denominación es muy apropiada en cuanto a su poder de absorción, no lo es tanto cuando convierte la energía calorífica en radiación electromagnética.

El cuerpo negro imaginario de Kirchhoff era un simple recipiente oscuro con un pequeño orificio en una de sus paredes. Una vez en el interior, la radiación sufre diversas reflexiones en las paredes de la cavidad hasta que acaba siendo completamente absorbida. El agujero también actúa como emisor perfecto, puesto que las radiaciones que escapan a través de él muestran todas las longitudes de onda presentes, a esa temperatura, en el interior del recipiente.

A partir de esta construcción mental y valiéndose de las matemáticas, Kirchhoff demostró que el rango y la intensidad de la radiación en el interior del recipiente únicamente dependían de su temperatura. La tarea que se impuso consistía en dar con la fórmula que reprodujese la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a cada temperatura y acabó conociéndose como problema del cuerpo negro.  Él mismo, muy pronto fue consciente de que sin poder experimentar con un cuerpo negro real no podría avanzar más a nivel teórico en su reto, pero su trabajo fue de gran ayuda para aquellos que pudiesen disponer de él. Si, tal y cómo había probado, la distribución sólo dependía de la temperatura, la ansiada fórmula sólo debía tener dos variables: la temperatura del cuerpo negro y la longitud de onda de la radiación emitida.

El siguiente paso en la resolución del problema vino de la mano del físico, matemático y poeta Josef Stefan. Este propuso en 1879 una relación que establecía que la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro era proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Dicha expresión se había extrapolado a partir de experimentos preliminares y mostraba una buena correlación con los resultados que se obtenían para un amplio intervalo de temperaturas.

El gran físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann fue el encargado de conferir cuerpo teórico a la ley de Stefan basándose en el segundo principio de la termodinámica y en la teoría electromagnética de la luz de Maxwell. Por esta razón, la ley obtenida por Stefan se conoce como ley de Stefan-Boltzmann.

En febrero de 1893, el físico alemán Wilhelm Wien, con 29 años, no dio con la fórmula pero descubrió una sencilla relación matemática que describía el efecto del cambio de temperatura en el espectro de la radiación emitida por el cuerpo negro. En un principio empleó “experimentos mentales” pero viendo que no le aportaban información suficiente, incorporó el uso de métodos y conceptos estadísticos. Como resultado de su estudio encontró que conforme el cuerpo negro se va calentando, el máximo del espectro de la distribución se desplaza hacia longitudes de onda más cortas. Esto significaba, algo tan revelador como que la longitud de onda del máximo de radiación multiplicada por la temperatura de un cuerpo negro es siempre una constante. Es decir, que una vez calculada la constante numérica, midiendo la longitud de onda del pico de emisión a una determinada temperatura, podía calcularse la longitud de onda máxima para cualquier otra temperatura. El resultado de Wien se denomina ley del desplazamiento porque muestra cómo la curva de densidad de energía se desplaza a medida que cambia la temperatura de la cavidad.

Los físicos dieron por bueno el razonamiento de Wien y la ley del desplazamiento se convirtió en una herramienta de uso común en la primera década del siglo. No deja de ser sorprendente que tuviese tan buena acogida ya que por aquel entonces mucha gente no acababa de entender el segundo principio de termodinámica, las ecuaciones de Maxwell justo empezaban a establecerse entre la comunidad científica y la radiación de cuerpos calientes era terreno exclusivo de los físicos experimentales.

Wilhelm Wien era un físico teórico competente a la par que un hábil experimentador. Mientras diseñaba junto a Otto Lummer un nuevo y mejorado cuerpo negro vacío capaz de calentarse a temperatura uniforme, buscaba por su cuenta la fórmula de Kirchhoff. Finalmente, en 1896 vio la luz su ecuación para la distribución de la radiación del cuerpo negro. Poco después, Friedrich Paschen confirmó que coincidía con los datos experimentales que podían obtenerse por aquel entonces, para las longitudes de onda cortas. Sin embargo, se requerían mediciones en un rango más amplio y elevado de temperaturas y para ello era imprescindible construir un cuerpo negro mejor. Otto Lummer trabajando en un primer momento con Ferndinand Kurlbaum y, posteriormente, con Ernst Pringsheim, tardó dos largos años en obtener un cuerpo negro perfeccionado de última generación. Con él obtuvieron el espectro para estudiar la validez de la ley de desplazamiento así como la ley de distribución de Wien.

Ambos presentaron sus resultados en un encuentro celebrado el 3 de febrero de 1889 en la Sociedad de Física Alemana de Berlín. Explicaron que, si bien los descubrimientos parecían confirmar la ley del desplazamiento de Wien, existían ciertas discrepancias en la región infrarroja del espectro. Estas podían deberse a errores experimentales pero sólo había una manera de saberlo a ciencia cierta, ampliar aún más el intervalo de longitudes de onda y temperaturas. Tres meses más tarde, Friedrich Paschen anunció triunfante que sus datos, a temperaturas inferiores a las de Lummer y Prignsheim, coincidían con las predicciones de la ley de distribución de Wien.

Wilhelm Wien y Max Planck

El físico Max Planck [podcast en Científicos de Relumbrón] leyó aliviado el artículo de Paschen en una sesión de la Academia Prusiana de Ciencias. Si la fórmula de Wien era cierta, se encargaría de establecer los principios físicos de los que se derivaba. Tres años más tarde, mediante la segunda ley de la termodinámica, creyó haberlo conseguido. Debido a esto muchas personas se refirieron a la distribución como ley de Wien-Planck. Planck confiaba en que “los límites de validez de esta ley, en el caso de que los haya, coincidan con los de la segunda ley fundamental de la teoría del calor”. La vinculación entre ambas hacía que sintiese una necesidad imperiosa porque esta última fuese corroborada. Esto le daría un empuje a la segunda ley. Pero sus deseos no se hicieron realidad. Si bien en un primer momento, tanto Otto Lummer y Ernst Pringsheim, como los expertos en infrarrojos Ferdinand Kurlbaum y Heinrich Rubens, la dieron por buena, la aplicación de las nuevas técnicas de infrarrojos recién inventadas puso al descubierto sus limitaciones.

CATÁSTROFE ULTRAVIOLETA

Por su parte, Lord Rayleigh en 1900 y James Jeans, unos años más tarde, llegaron a otra expresión por medio de un procedimiento distinto. Aunaron la física de Newton, Maxwell y Boltzman para dividir la energía de la radiación del cuerpo negro entre las diferentes longitudes de onda presentes dentro de la cavidad. El uso del teorema de equipartición no satisfacía demasiado a Rayleigh que creía que sólo era válido en ciertas condiciones, sin embargo reconocía que “aunque la doctrina falla, en general, por alguna razón aún sin explicar, parece posible que pueda aplicarse a los modos más graves” donde por “modos más graves” ser refería a las vibraciones de longitud de onda largas, las únicas a las que en su opinión podía aplicarse la ecuación.

Según el teorema de equipartición, la energía de un gas debe hallarse equitativamente distribuida entre sus moléculas y repartida de igual modo entre las diferentes formas en las que estas pueden moverse. Los átomos sólo son libres para moverse en tres direcciones diferentes y cada una de ellas, denominadas “grado de libertad”, es una forma independiente en la que puede recibir y almacenar energía. En el caso de una molécula compuesta de dos o más átomos, a parte de estos tres movimientos de “traslación” existen tres tipos de “rotación” en torno a los ejes imaginarios que unen los átomos. Así pues, se obtienen un total de 6 grados de libertad.

La ley de Rayleigh-Jeans, que obtuvieron basándose en la física clásica, dio un ajuste excelente entre teoría y observación en la zona de baja frecuencia. Desafortunadamente, para las altas frecuencias, la predicción fue un desastre. Se preveía un aumento infinito de la energía en la región del ultravioleta que sería conocido, años más tarde, como “catástrofe ultravioleta”. Hay que señalar que tanto Rayleigh como Jeans se dieron cuenta en seguida que aquello no tenía ningún sentido. Entre otras cosas porque la vida humana no hubiese sido posible en un universo sumido en un océano de radiación ultravioleta.   

Radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura de 1500 K en función de la frecuencia

La denominación que le puso Paul Ehrenfest de “catástrofe ultravioleta” puede parecer un tanto exagerada pero no dejaba de ser bastante catastrófico que el empleo del modelo teórico establecido hasta entonces diese una predicción totalmente errónea que nada tenía que ver con la realidad.

Por lo que a Planck se refiere, se sentía contrariado con la falta de ajuste de la distribución de Wien para el caso de las longitudes de onda largas. Después de que Rubens se lo confirmase el domingo 7 de octubre, se pasó la noche en vela elaborando una fórmula empírica que reprodujese la radiación del cuerpo negro. Tras garabatearla en un papel, salió de madrugada a enviársela a Rubens para que comprobase si cuadraba o no con los resultados experimentales.

La respuesta fue positiva y el viernes 19 de octubre en la reunión quincenal de la Sociedad de Física de Alemania, fue presentada en sociedad. Ferdinand Kurlbaum anunció formalmente que la ley de Wien no era válida en las longitudes de onda largas del infrarrojo. Tras él, Planck tomó la palabra para presentar una supuesta mejora a la ecuación de Wien. Empezó admitiendo que había creído y manifestado anteriormente “que la ley de Wien debía ser necesariamente cierta” pero que, puesto que no era así, había realizado algunas correcciones. Sin embargo, a medida que el discurso avanzaba se hacía más evidente que de lo que se trataba era de una expresión completamente nueva. Después de hablar durante unos diez minutos la escribió en la pizarra y les dijo a los presentes que esa ecuación  “cuadra, en mi opinión, con los datos publicados hasta el momento.” Al sentarse recibió la aprobación de rigor y un respetuoso silencio. Era muy comprensible que una fórmula elaborada ad hoc para justificar datos experimentales no arrancase vítores de entusiasmo. Tampoco era el primero que hacía algo así.

Para tratar de llegar a su fórmula empírica de forma razonada, representó las paredes del cuerpo negro como un conjunto de osciladores que en sus diferentes vibraciones reproducían todas las frecuencias del espectro contenidas en el interior de la cavidad. A continuación, buscó  la forma de distribuir la energía total disponible entre los osciladores, dando con serias dificultades.  No hubo manera de hacerlo valiéndose de la física que utilizaba hasta entonces y, muy a su pesar y como medida desesperada, tuvo que recurrir a las ideas de Ludwig Boltzman, el primer defensor de la teoría atómica que Planck llevaba años repudiando.

Mediante las técnicas de Boltzmann descubrió que sólo podía derivar la fórmula de la distribución si los osciladores absorbían y emitían paquetes de energía, proporcionales a su frecuencia de oscilación, que denominó cuantos hν. Es importante apuntar que él no creyó en ningún momento que la energía de radiación se dividiese realmente en cuantos sino que esos paquetes sólo se correspondían a la energía que podían recibir y emitir sus osciladores y debían considerarse más como un artificio matemático que como una realidad física. Con su inclusión llegaba a reproducir la ley de distribución de la radiación del cuerpo negro que había determinado empíricamente y eso era lo que le más le importaba.

Espectro de emisión del cuerpo negro según Planck y comparación con la teoría clásica.

El problema de su desarrollo es que el procedimiento estadístico de Boltzmann tenía una segunda parte que Planck obvió. Después de tratar las porciones por separado como magnitudes reales, la energía debía ser reagrupada mediante una técnica matemática muy precisa para llegar a la energía total. Si Planck hubiese completado la hipótesis de Boltzmann “su fórmula” se hubiese esfumado convirtiéndose en la expresión que conducía a la “catástrofe ultravioleta”. Cuando Einstein se dio cuenta de ello al revisar la fórmula de Planck  manifestó que cualquier tratamiento clásico del problema del cuerpo negro conducía a dicha catástrofe.

Al contrario que Planck, Einstein sí apostó por la cuantización de la luz ya que, como seguidor de la teoría atómica, le era más cómodo asumir que las ondas electromagnéticas, al igual que la materia, tenían una naturaleza discontinua. Por ello, elaboró un diseño diferente de cuerpo negro y, mediante la aplicación de la primera ley de la termodinámica y las leyes de Wien y Boltzmann, analizó la forma en que la entropía de la radiación dependía del volumen ocupado.  El resultado fue muy satisfactorio puesto que obtuvo que la relación entre la entropía y el volumen era la misma que en el caso de un gas compuesto por átomos. Así pues, el cuerpo negro se comportaba como si estuviese formado por partículas individuales de energía.

De esta forma Einstein encontró el cuanto de Planck por un camino distinto, creó el concepto de cuanto de luz que evidenciaba la cuantización de la energía y se libró finalmente de la catástrofe ultravioleta.

Post dedicado a Javier Peláez (@irreductible),  Antonio Martínez (@aberron) y Javi Álvarez por su futura Catástrofe Ultravioleta

BIBLIOGRAFÍA

T. Kuhn, La Teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica

M. Planck, The theory of Heat Radiation

Manjit Kumar, Quántum

S. Ortoli y J. P. Pharabod, El cántico de la cuántica

John Gribbin, En busca del gato de Schrödinger 

George Gamow, Biografía de la Física

Robert Eisberg y Robert Resnick, Física Cuántica 

Carlos Sánchez del Río, Física Cuántica