Los Anillos del Señor… James Clerk Maxwell

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James preparó las cosas para reunirse con sus nuevos colegas. Tenía 25 años y estaba a punto de iniciar una nueva etapa en su vida. Antes de trasladarse al Marischal College, creyó que la situación sería diferente y que habría más profesores jóvenes. Sus compañeros eran amigables y atentos pero, tal y como le escribió a su amigo Lewis Campbell, no entendían ninguna broma y él mismo ya había renunciado a hacerlas. Echaba de menos el ambiente relajado y jovial que se respiraba en Cambrige. Sin embargo, no estaba dispuesto a conceder demasiado espacio a la nostalgia. Tenía un reto, inauguraba su propia Cátedra de Filosofía Natural y estaba decidido a trabajar duro para sacarla adelante con éxito.

Los alumnos eran, mayoritariamente, de Aberdeen y de la campiña de los alrededores. Las carreras más solicitadas eran medicina, eclesiástica, magisterio y derecho aunque unos pocos acababan trabajando como ingenieros en las compañías de ferrocarriles del extranjero. Los científicos escaseaban, de hecho, en la época de Maxwell sólo un estudiante tomó ese camino de forma notoria: el astrónomo David Gill.

Como nuevo profesor tenía que impartir la lección inaugural, a los estudiantes y al cuerpo docente, sobre la política de educación que desarrollaría en el departamento. Era su primer gran discurso y lo preparó con esmero. Dejó claro que su objetivo no era la mera enseñanza de la ciencia sino que lo que pretendía era usar la ciencia para preparar a los estudiantes a pensar por sí mismos.

Mi deber es aportaros los fundamentos necesarios y permitir que vuestros pensamientos se estructuren libremente. Es preferible que cada individuo piense por sí mismo a instarle a adoptar la mentalidad de otra persona so pretexto de estudiar ciencias

La labor de Maxwell no se centraba únicamente en las clases sino que también estaba a cargo del plan de estudio, lo que significaba una gran responsabilidad para un joven recién llegado. Para desempeñar su tarea de forma satisfactoria, ya se había hecho un esquema mental sobre el tipo de enseñanza que quería impartir. Los detalles de la misma tendría que desarrollarlos durante el curso, cuando pudiese estimar el nivel de conocimientos de sus estudiantes. Preparó cada una de las lecciones con esmero y sintió gran satisfacción tras comprobar que sus predecesores habían prestado especial atención en las demostraciones prácticas, gracias a lo cual contaba con abundante equipamiento en buen estado. Por el contrario, los cursos previos habían sido flojos en matemáticas pero eso no iba a suponerle un problema que no pudiese resolver.

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Por si todo esto no fuese suficiente, también se inscribió para dar clases nocturnas semanales a los obreros de la Aberdeen Mechanics’ Institution. Años atrás, en la Universidad de Cambridge, había contribuido a crear la escuela de obreros y a convencer a los empresarios de la necesidad de terminar la jornada laboral más pronto. De lo contrario, los trabajadores no hubiesen podido asistir a clase.

En Aberdeen, en cambio, la escuela para obreros de la Mechanics’ Institution ya estaba asentada y sus predecesores habían dado lecciones allí durante treinta años. Maxwell, simplemente continuaría con la tradición, haciendo aquello que le complacía y le parecía importante.

Así pues, en total, tenía destinadas a la docencia 15 horas semanales que, por una parte le dejaban tiempo para preparar los cursos y la administración del departamento, pero que suponían una carga considerable para un hombre que intentaba hacer investigación de primera línea.

Al margen de esto, Maxwell, que no sentía interés alguno en la política institucional, se vio inmerso en un conflicto entre las dos universidades de Aberdeen: el Marischal College del que formaba parte y el King’s College. Algunas personas influyentes creían que dos universidades para una sola ciudad suponían un gran gasto y debían fusionarse. Para estudiar la propuesta se creó la Comisión Real que consultaría las diferentes opiniones y tomaría una decisión. La rivalidad estaba servida y Maxwell nadó contracorriente haciendo amistad con algunos de los miembros más jóvenes del King’s College. La actitud predominante de cada Universidad respecto a la otra era de fría cortesía; en su mayor parte, los profesores y sus familias no tenían relaciones con los de la otra Universidad. El debate se cernía sobre el ambiente y, como veremos más adelante, su resolución fue poco satisfactoria para nuestro protagonista.

Maxwell fue acostumbrándose a su nueva vida en Aberdeen. Vivía en una finca en Glenlair y, ocasionalmente, recibía visitas de viejos amigos de Edimburgo y Cambridge. También visitaba a su familia cuando le era posible pero la mayor parte del tiempo lo pasaba solo y su principal medio de comunicación con las personas que quería eran las cartas. En ocasiones, la soledad le entristecía, pero sabía que no podía quejarse, que no era una mala vida. Realizaba un trabajo que le parecía muy importante, no por el status que confería sino por la oportunidad que le brindaba de ayudar a los jóvenes a adquirir conocimientos útiles. Le encantaba Glenair y todavía había muchas mejoras que quería hacer en la finca y en los alrededores. Y, por encima de todo eso, seguía fascinado por el mundo físico y determinado a descubrir todos sus misterios.

El estilo de Maxwell nunca fue concentrarse en un único tema de investigación, buena prueba de ello son la cantidad de importantes descubrimientos que hizo en diversas ramas de la física. No obstante, hubo un problema que acaparó la mayor parte de su tiempo libre en 1857: los anillos de Saturno.

Saturno, con su extraordinario conjunto de enormes anillos planos tenía un inmenso atractivo. Llevaba 200 años desconcertando a los astrónomos y en ese momento, obtenía una atención especial por haber sido elegido, por el St John’s College, Cambridge, como tema para su prestigioso Premio Adams de 1855.

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El premio había sido fundado para conmemorar el descubrimiento de Neptuno por parte de John Couch Adams. Aunque también pudo ser el intento, por parte de la comunidad científica británica, de compensar a Adams por su abyecto proceder en el momento del hallazgo. La posición que dio del nuevo planeta, después de 4 años de cálculos manuales, fue ignorada por el astrónomo real, Sir George Airy. Al año siguiente, el francés Urbain Le Verrier, de forma independiente, hizo una predicción similar. La envió al Observatorio de Berlín que inmediatamente dirigieron sus telescopios a la posición prevista y encontraron el planeta. Tal vez para calmar su conciencia, Airy hizo una demanda retrospectiva en nombre de Adams. Tras riñas y malos modales en los que Adams no tomó parte, prevaleció el sentido común y ambos obtuvieron igual reconocimiento. Más tarde, Adams fue nombrado Astrónomo Real.

Como el Premio Adams era una competición bienal, el plazo de admisión de las comunicaciones finalizaba en diciembre de 1857 y el problema era tremendamente difícil. La fascinación de Maxwell por este tema se plasma en sus propias palabras:

“Pero cuando contemplamos los anillos desde un punto de vista puramente científico, se convierten en los cuerpos más notables en el cielo, excepto, quizás, los cuerpos aún menos útiles: las nebulosas espirales. Cuando realmente hemos visto ese gran arco pivotando sobre el ecuador del planeta sin ninguna conexión visible, no podemos dar descanso a nuestras mentes. No podemos simplemente admitir que esto es así y describirlo como uno de los hechos observados en la naturaleza, que no admite o que requiere explicación. Debemos explicar su movimiento según los principios de la mecánica, o admitir que, en los reinos de Saturno, puede haber movimientos regulados por leyes que somos incapaces de explicar…”

Los anillos de Saturno fueron vistos por primera vez en 1610, cuando Galileo Galilei orientó el telescopio hacia el planeta y encontró dos protuberancias que aparecían a los dos lados del disco principal. Galileo los comparó con dos asistentes obedientes que, fijos a cada lado de Saturno, le ayudaban a moverse. El problema es que las leyes de la mecánica celeste, que Johannes Kepler había publicado un año antes, prohibían categóricamente la posibilidad de la existencia de satélites fijos cercanos a un planeta. Lo que ocurría es que Galileo nunca leyó el “Nueva Astronomía…” que Kepler y seguía convencido de que la única órbita estable era el círculo.

Pero las cosas se complicaron aún más cuando el 1612, las protuberancias desaparecieron. Galileo, sorprendido en un principio, acabó pensando que, con el tiempo, volverían a aparecer. Y así fue, dos años más tarde el jesuita Christopher Scheiner volvió a verlas y Galileo hizo lo propio en 1616. Entre 1630 y 1660 diversos observadores mostraron más características del anillo y Hevelius dio con la periodicidad en los cambios de las fases de su visibilidad. Pero nadie logró desentrañar el secreto de la naturaleza de los adornos saturnianos.

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El premio se lo llevó el creador del telescopio con mayor poder resolutivo de aquel periodo: Christian Huygens. El joven investigador se dispuso a ver los ansiados anillos en 1655 sin lograrlo puesto que en ese momento estaban ocultos de nuevo. Finalmente, en 1659, se salió con la suya y publicó su “The System of Saturn”. En él propuso que el planeta estaba rodeado por un anillo sólido “un delgado anillo plano, que no tocaba a ninguna parte, inclinado respecto a la eclíptica”, estimó que su diámetro máximo era 2¼ veces mayor que el del propio planeta y predijo las futuras fechas de desaparición de los anillos.

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En 1665, William Bell descubrió una línea oscura alrededor de la superficie norte del anillo y, diez años más tarde, Giovanni Domenico Cassini procedió de igual forma en la otra superficie, llegando a la conclusión de se trataba de dos anillos diferentes, concéntricos y separados por una franja oscura. El anillo interno, más brillante, se conoce como “anillo B”, el externo se denomina “anillo A” y la separación recibe el nombre de “división de Cassini”. Su hijo, Jacques Cassini, escribió un artículo en el que expresaba que los anillos eran una acumulación de satélites rotando en un plano alrededor del planeta, tan pequeños que no se podían observar los huecos entre ellos.

En 1755, en su “Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels”, Immanuel Kant fue el primero en predecir la existencia de la estructura fina de los anillos. Imaginó el anillo como un disco plano formado por partículas en colisión, provenientes de los vapores del propio planeta, que se movían siguiendo las leyes de Kepler. La rotación diferencial entre ellas era la causante de que el anillo se acabase rompiendo. El trabajo de Immanuel Kant, distanciado del mundo de la astronomía, permaneció oculto durante años.

El siguiente gran protagonista, Pierre-Simon, marqués de Laplace, fue el primero en investigar las condiciones de estabilidad. En su libro “Exposition du Système du Monde” probó la inestabilidad del modelo de anillo rígido ancho y propuso que el sistema, de ser sólido, debía estar formados por un gran número de anillos concéntricos muy delgados y próximos entre sí, girando cada uno de ellos a una velocidad tal que la atracción gravitatoria proporcionase exactamente la fuerza centrípeta necesaria para mantener estable su órbita. Para resolver el problema de la inestabilidad debida a las perturbaciones, propuso que la masa de cada anillo no estuviese uniformemente distribuida, con lo que su centro de gravedad estaría a cierta distancia de su centro geométrico.

Maxwell empezó por investigar la hipótesis de los anillos irregulares y, para empezar, consideró un único anillo sólido. Encontró que la estabilidad del movimiento quedaba asegurada cargando el anillo con un satélite pesado, con una masa de 4,5 veces la masa del resto del anillo. Es obvio que semejante asimetría provocaría efectos gravitatorios fácilmente visibles, que no se aprecian en las observaciones de Saturno. El propio Maxwell lo reconoció en un párrafo de su estudio:

Pero esta carga, además de ser incompatible con el aspecto observado de los anillos, debe ajustarse demasiado artificialmente para concordar con los sistemas naturales observados en otros lugares, porque un error muy pequeño en exceso o en defecto volvería el anillo otra vez inestable. Estamos, por lo tanto, obligados a abandonar la teoría de un anillo sólido y a considerar el caso de un anillo, cuyas partes no están rígidamente conectadas, como en el caso de un anillo de satélites independientes, o de un fluido.

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El análisis del movimiento de un anillo compuesto por un líquido continuo tampoco proporcionó una solución satisfactoria. Aplicando el método de Fourier para analizar los diferentes tipos de ondas que podrían aparecer, demostró que se producirían pequeñas perturbaciones que provocarían la división en un cierto número de gotas que orbitarían como satélites de Saturno y se irían uniendo haciéndose más grandes pero menos numerosas. Como resultado, el anillo acabaría rompiéndose en forma de líquido discontinuo. Este modelo tampoco encajaba con las observaciones que se habían hecho de Saturno a través de alguno de los anillos, ya que éstas no presentaban distorsiones debidas al fenómeno de refracción.

Llegado a este punto, por eliminación, Maxwell concluyó que los anillos debían estar formados por muchos cuerpos separados, cada uno de los cuales orbitaba de forma independiente. El análisis matemático de las condiciones de estabilidad, que solicitaba el tribunal examinador, entrañaba una dificultad extrema puesto que debían determinarse por completo los movimientos de un sinfín de objetos de diferentes tamaños. Maxwell simplificó el problema considerando el caso especial de un solo anillo compuesto por partículas equidistantes.

Empleando de nuevo el método de análisis armónico de Fourier, demostró que un objeto de este tipo siempre puede hacerse estable mediante el aumento de la masa del cuerpo central y la velocidad angular del anillo. En concreto, calculó que un anillo compuesto por 100 partes iguales y equidistantes es estable para todos los desplazamientos con tal que la masa del cuerpo central sea, por lo menos, 4352 veces la del anillo. Cuando se cumple la condición de estabilidad, las partes del anillo pueden vibrar con 4 periodos diferentes en elipses alrededor de sus posiciones medias. Estas vibraciones se transmiten con diferentes velocidades a lo largo del anillo, de modo que éste “se asemeja a una cadena de perlas formando una curva casi circular pero con una variación de la distancia desde el centro”. Además hay ondas longitudinales que provocan el acercamiento y alejamiento periódicos de las partículas entre sí.

Para ilustrar el funcionamiento de su modelo de anillo, Maxwell diseño un modelo mecánico. En él, unas bolas de marfil podían reproducir los modos de oscilación primero y cuarto de los cuatro posibles que había definido. La única diferencia era que describían circunferencias, en lugar de elipses, alrededor de sus posiciones medias. El artilugio tuvo buena acogida en aquella época, tanto en la comunidad científica, que sentía gran aprecio por los modelos mecánicos que permitían valorar lo esencial de una teoría, como por el mundo de la enseñanza. James tenía varias copias hechas por amigos en diferentes establecimientos educativos y se convirtió en un producto comercial que tuvo demanda hasta los 1890s. En la actualidad el aparato se encuentra en el Cavendish Laboratory.

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El siguiente paso consistió en analizar el comportamiento de un sistema de dos anillos concéntricos y próximos. El resultado mostró que sus mutuas perturbaciones provocarían la destrucción de uno de ellos si el periodo de alguna de las cuatro ondas de uno coincidiese o fuese muy próximo al de una de las ondas del otro, debido a un efecto de resonancia. En el caso de múltiples anillos, se producirán continuamente casos de interferencia mutua y destrucción, lo que limitaría enormemente la vida del sistema. La explicación de que esto no ocurra se debe a que las fuerzas que provocan las perturbaciones son muy pequeñas y, por otra parte, los anillos contienen partículas de diferentes masas y tamaños, dispuestas de modo no uniforme, con lo que el crecimiento de las perturbaciones puede quedar limitado a un nivel no destructivo. Esto podría lograr que se retrasase o suspendiese indefinidamente la degradación del sistema.

Respecto a los supuestos cambios que indicaban que su borde externo se iba alejando de Saturno mientras que el borde interno se acercaba a la superficie, lo cual era compatible con su análisis, su opinión era la siguiente:

Si los cambios ya sospechados son confirmados por repetidas observaciones con los mismos instrumentos, valdrá la pena investigar más detenidamente si los anillos de Saturno son elementos transitorios o permanentes del sistema solar, y si en esa parte del cielo vemos la inmutabilidad celestial, o la corrupción terrestre y generación y el viejo orden dando lugar al nuevo ante nuestros propios ojos.

La memoria presentada por Maxwell consta de 68 páginas, de las cuales cerca de 60 corresponden a desarrollos matemáticos. Representó un trabajo ingente y una perseverancia a prueba de bomba que, no sólo le valió el Premio Adams sino también el reconocimiento de la comunidad de físicos y matemáticos como una figura de primera magnitud. Su trabajo fue calificado por el Astrónomo Real como:

“una de las más brillantes aplicaciones de las Matemáticas a la Física que haya visto jamás”

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De hecho, la suya fue la única comunicación. Lo cual resultó positivo puesto que evidenció la dificultad de la tarea. Nadie más había conseguido hacer ningún modelo porque el que le valiese la pena enviar una entrada.

Sin embargo, a pesar de la excelencia del texto, no lo publicó hasta 2 años más tarde ya que durante ese intervalo se dedicó a desarrollarlo de forma que fuese más inteligible a los futuros lectores. Saturno había tenido acaparado todo su interés en los últimos años, pero con una parte de la labor encaminada podría simultanear su dedicación al mismo, con el estudio de la óptica y el nacimiento de la estadística.

Por lo que se refiere a su faceta personal, James se había convertido en uno de los favoritos del director de la universidad, el Rev. Daniel Dewar, y, todavía más, de su hija Katharine María. A menudo visitaba la casa familiar y ambos cada vez se sentían más atraídos el uno por el otro. Finalmente Maxwell se declaró y se prometieron en febrero de 1858. La boda tuvo lugar en Aberdden en junio y Lewis Campbell vino de Hampshire para ser el padrino. Pasaron la luna de miel disfrutando de “sol, viento y corrientes (de agua) “en Glenlair, antes de que James se reincorporase al trabajo. Katherine le ayudó en lo que pudo, en particular en los experimentos con la visión de los colores .

La Real Comisión, por fin se había pronunciado sobre el debate de la futura situación de las dos universidades y había apostado por la fusión. Faltaba por saber si se llevaría a cabo mediante una “unión”, una gestión común que hubiese alterado poco el funcionamiento anterior, o por medio de una “fusión completa” que reduciría a la mitad el número de profesores. Los fusionistas ganaron y el plan de ajuste se fijó para comienzo del curso académico 1860-1861. Habría sólo una silla de Profesor de filosofía natural, y su homólogo en la otra institución era David Thomson, un astuto negociador que se había ganado el apodo de “Crafty”. James lo tenía todo en contra puesto que, al no haber servido durante diez años, no tenían que pagarle ninguna pensión, su despido era el más barato. Sus logros en la investigación de poco valían ya que pocas personas podían valorar su importancia y ninguna de ellas vivía en Aberdeen. Así que, como era de esperar, Thomson fue el elegido y James cerró su etapa en Aberdeen.

Su próximo destino sería el Kings College de Londres, donde seguiría con sus contribuciones fundamentales en la física del siglo XIX.

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BIBLIOGRAFÍA

“The life of James Clerk Maxwell with a selection from his correspondence and occasional writings and a sketch of his contributions to science” Lewis Campbell

“The Man who changed everything. The Life of James Clerk Maxwell” Basin Mahon

“Nuestro sistema solar y su lugar en el cosmos” Stuart Ross Taylor

“Physics of Planetary Rings: Celestial Mechanics of Continuous Media” Nikolai N. Gorkavyi,Alexei M. Fridman

“On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings” James Clerk Maxwell

“Historia natural y teoría general del cielo” Immanuel Kant

CHARLAS QUE NO TE PUEDES PERDER

“Saturno y el físico escocés” de Fernando del Álamo en Naukas Bilbao13

“El hexágono polar de Saturno” de Ricardo Hueso en Naukas Quantum13

Acerca de Laura Morrón Ruiz de Gordejuela

Licenciada en Física por la Universidad de Barcelona y máster en Ingeniería y Gestión de las energías renovables por IL3. Tras años dedicada a la protección radiológica, he encontrado un empleo como directora y editora de Next Door Publishers, que aúna mi pasión por la divulgación científica y los libros. Aparte de esta labor, también ejerzo de divulgadora científica en mi blog «Los Mundos de Brana» —premiado en la VI edición del Concurso de Divulgación Científica del CPAN—, en el podcast para niñas y niños «Crecer soñando ciencia» y en las plataformas «Naukas» y «Hablando de Ciencia». He colaborado en el blog «Desayuno con fotones» y en los podcasts de ciencia «La Buhardilla 2.0» y «Pa ciència, la nostra». Soy miembro y community manager del Grupo Especializado de Mujeres en la Física de la Real Sociedad Española de Física y socia de ADCMurcia, Cienciaterapia y ARP-SAPC. En 2015 tuve el honor de ser galardonada con el premio Tesla de divulgación científica de «Naukas».
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20 respuestas a Los Anillos del Señor… James Clerk Maxwell

  1. Por supuesto que la entrada me parece fascinante, as always. Todo lo que hable de mi (también) amado Saturno de por sí hace que las orejitas se me pongan tiesas, como a los gatetes. 🙂

    Eso sí, hay un pequeño problema. Se llama bibliografía, que ahora a ver de donde saco el tiempo para leer un par de joyas de las que citas en las referencias. Maldita tú. 😛

    Gracias de nuevo.

    Un abrazo.

  2. Hola Laura,
    voy a proponer a wordpress que añada un botón de “Me encanta” por que es lo que me ha pasado. Desde que Cassini empezó a mandar imágenes como las que mandó, me enamoré de Saturno. Y con Maxwell, pues bueno, ser físico es sentir admiración por Maxwell. Nunca he tenido acceso (ni curiosidad por buscar, lo admito) a On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings, pero ya tengo tarea para el puente.
    Muchas gracias por el artículo
    Un abrazo

    • A mi me encanta tu comentario y también las entradas de tu blog así que hacemos un buen intercambio.
      Y Saturno y James me tienen enamorada desde hace tiempo.
      Un besazo

  3. Pingback: Los Anillos del Señor… James Clerk Maxwel

  4. molinos dijo:

    Me ha encantado la entrada…y he aprendido algunas cosas…pero es demasiado largo!! Gracias Laura. 🙂

    • Sé que es largo, pero no pienso en la longitud y me gusta poner lo que creo que tiene que haber. Y, de momento, tengo muchos más lectores de los que hubiese soñado.
      La frecuencia es poca, sabiendo que es de aquí se puede guardar la entrada y leer cuando uno tiene un ratico.
      Podríamos decir que hago las entradas “on my way”
      Un besazo,
      Laura

    • ¿Demasiado largo?… Es curioso, porque últimamente mucha gente opina precisamente eso de algunos post de ciencia, alguno de los míos incluidos, y de casi todos los de Scientia… Creo que es un buen tema de reflexión y daría para un ‘molipost’ 😉

      PS.- Quizá sea el formato mismo de leer en una pantalla… Porque este post en papel debe ser una gozada 🙂

      • De los míos lo han dicho siempre y al principio varias personas me sugirieron que los hiciese más cortos… pero no sé. En mi caso, que en muchas ocasiones es histórico, me saldría demasiado wikipedéstico y simple. Creo que cada uno debe divulgar como se siente cómodo y le gusta hacerlo.
        La gente que busca artículos cortos suele ser la que los busca sobre noticias más concretas, los míos son de entretenerse y pasar un rato. O eso quiero pensar. ;P
        Un besote
        Laura

  5. Gabriel dijo:

    Hermoso artículo.-

  6. Una absoluta delicia, Laura. Gracias.

    ¿Te has planteado recopilar tus artículos en un libro? Yo me lo pensaría seriamente.

    Besos

    • ¿En un libro? Uff… pues no, ni en sueños… Un libro es una cosa muy seria… como no sea que un día me despiste un poco en una entrada y me salga un libro 😀
      Gracias por tus palabras, Dani
      Un beso muy fuerte

  7. molinos dijo:

    A ver, por alusiones.

    El tema de la la extensión de los posts es por el formato por supuesto. Ya lo he hablado con Alonso también, sus posts para leer en pantalla son demasiado largos, ¿quiere decir eso que no se leen? Por supuesto que no, ni los de Laura ni los de Scientia…ni algunos otros. ¿Es mi opinión personal que podrían ser un poco menos extensos sin perder calidad ni contenido ni parecer “wikipédicos”? Por supuesto, pero es una opinión completamente personal. Y sí, es un tema del formato en que se lee. El papel y la lectura en papel lo aguanta todo, la manera de leer es distinta…

    Por supuesto y soy una firme defensora de eso, cada uno escribe como quiere en su blog…esa es la gracia. Mi comentario viene como lectora curiosa y voraz.

  8. omalaled dijo:

    Queremos un libro ya 🙂

    Muy muy chulo el artículo. Maxwell, uno de los grandes 🙂

    Salud!

  9. Viniendo de un amante de los libros como tú, eso es un piropazo.
    Por no hablar de tus conocimientos sobre Maxwell que también explicaste en Naukas Bilbao.
    Muchísimas gracias, de verdad. 😉

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